Порівняльний аналіз програм з математики

Порівняльний аналіз програм з математики

Традиційно вивчення математики в загальноосвітній школі здійснюється за спеціальними програмами з математики для загальноосвітніх навчальних закладів. Програма передбачає зміст, обсяг та порядок вивчення курсу математики в основній та старшій школі. Впродовж останніх 20-ти років в школах України навчання математики відбувалося за програмами, затвердженими:

-          у 1987 році Міністерством освіти СРСР;

-          у 1991 році Міністерством народної освіти УРСР;

-          у 1996 році Міністерством освіти України;

-          у 2001 році Міністерством освіти і науки України.

-          У 2004 році Міністерством освіти і науки України.

Програма 1987р.  складалася з таких розділів:

-                                Розділ “Вимоги до математичної підготовки учнів” визначав рівень та об’єм вмінь та навичок, які є обов’язковими для оволодіння учнями.

-                                У розділі “Зміст навчання” задавався перелік та об’єм матеріалу, обов’язкового для вивчення в школі.

-                                “Тематичне планування” - можлива послідовність матеріалу курсу з розподілом по класам та вказівкою приблизної кількості годин, що відводиться на вивчення теми.

-                                Рекомендації для здійснення міжпредметних зв’язків.

-                                Критерії оцінки знань та вмінь учнів по п’ятибальній системі оцінювання знань учнів з математики.

-                                Список літератури для вчителя.

Періодичність затвердження нових програм – 5 років. В 1991 році затверджено нову перехідну програму з математики для 5-11 класів загальноосвітньої школи (“Інформаційний збірник Міністерства народної освіти УРСР”,№15, 1990р.). Вона розрахована на базисний навчальний план ( з розрахунку 5 годин в тиждень) і за структурою та обсягом тем аналогічна попередній. Ця програма орієнтує на умови диференційованого навчання. Питання необов’язкові для вивчення взято в квадратні дужки.

У старших класах при профільній диференціації пропонуються програми з математики для 10-11 класів двох курсів: А і Б ( “Інформаційний збірник Міністерства народної освіти УРСР”, №15, 1990р.).

Курс А – інтегрований, розрахований на 204 години. Може вивчатися протягом двох років (по 3 год на тиждень) або протягом 1,5 років (по 4 год на тиждень). Призначений для учнів, математика для яких – елемент загальної освіти.

Курс Б розрахований для учнів, які обрали для себе ті галузі діяльності, де математика відіграє важливу роль. Цей курс рекомендувалось використовувати у ліцеях, у спеціалізованих та профільних школах технічного, природничого та інших напрямків.

Для шкіл (класів) поглибленого вивчення математики з тією ж періодичністю затверджувалися програми з математики ( 1987р., 1991р. і т.д.)

            Поглиблення курсу математики досягається за допомогою включення в програму додаткового матеріалу, що доповнює шкільний курс математики та підвищує вимоги до рівня засвоєння матеріалу загальноосвітніх шкіл.

Програма з математики для загальноосвітніх шкіл 1996 року відрізняється від попередніх програм за своєю структурою. Вона, як і решта, містить пояснювальну записку та зміст навчання з тематичним плануванням. Але тематичне планування, крім поділу на класи містить ще й рекомендації в плануванні навчання за окремими існуючими підручниками. Дана програма уже не містила вказівок щодо здійснення міжпредметних зв’язків та критеріїв оцінювання знань та вмінь  учнів.

У 1999 році затверджено програми з математики для           5-11 класів загальноосвітніх шкіл, ліцеїв та гімназій фізико-математичного, природничо-наукового, економічного, гуманітарного профілів. Дана програма за своєю структурою аналогічні програмам 1991р. Ці програми відрізняються між собою за структурою тематичного планування та змістом навчання. Так у програмах для ЗОШ у 10-11 класів передбачено вивчення алгебри та початків аналізу і геометрії, а у програмах для ліцеїв та гімназій з поглибленим вивченням математики протягом двох років – геометрії, алгебри та математичного аналізу окремо. У ліцеях та гімназіях гуманітарного та економічного напрямку програма передбачає вивчення математики без традиційного членування на алгебру з початками аналізу та геометрію. Кількість годин, відведена на їх вивчення подано у таблиці 1.

В зв’язку з реформуванням освіти у 2001 році до навчальних програм з математики внесено зміни. Затверджено нові програми 2001 року. Автори програм - В.Бевз, А.Мерзляк, З.Слєпкань. На вивчення математики в 5 класі замість 152 год стало 140 год (було 4,5 год на тиждень, а стало 4 год).

У розділі “Зміст навчального матеріалу” питання, які є необов’язковими для вивчення, подано в квадратних дужках. Крім того, даний розділ подано у вигляді таблиці, де в першому стовпчику зазначені розділи програми, основна мета, а в другому – основні вимоги до вмінь та знань учнів.

Після того, як з 2002 року розпочато експеримент профільного навчання в старшій школі, програми з математики знову набули змін. Зокрема, розроблені і затверджені програми з математики для шкіл, класів гуманітарного, економічного та прикладного профілів. Крім того, затверджена програма поглибленого вивчення математики в 10-11 класах, програми курсів за вибором та факультативних курсів для підвищення рівня математичної підготовки учнів.

Таблиця 1.

	Основ ний рівень		Природ ничо-науко вий напрям		Фізико-матем. напрям		Економічний напрям			Гума нітар ний напрям
Клас/ курс	10	11	10	11	10	11	10	11	10		11
Алгебра	68	68	102	102	102	102	170	170	102		102
Марема тичний аналіз					102	102
Геомет рія	68	68	68	68	102	102

Програма з математики для 10-11 класів гуманітарного профілю (М.Бурда, Ю.Мальований), на відміну від програми 1999 року, за структурою змісту основного матеріалу стала аналогічна програмі 2001 року для загальноосвітньої школи. Крім того змінилася кількість годин, відведена для вивчення (замість 102 год в 10 класі та 102 год в 11 класі на вивчення математики, як єдиного курсу, відводиться 105 год в 10 класі та 105 год в 11 класі).

Програми для шкіл, класів економічного профілю                  (М.А.Вайнтрауб, І.Г.Стрельченко, О.С.Стрельченко) структуровано за класами (10 та 11) та темами загального курсу математики. До кожної теми додаються основна мета вивчення даної теми та основні вимоги.

Програма з математики для профільних класів прикладного напрямку (Я.С.Бродський, О.Л.Павлов, А.К.Сліпенько, О.М.Афанасьєва) за структурою аналогічна попередній, але в неї ще внесено орієнтовані тематичні плани з алгебри та початків аналізу і геометрії для 10-х та 11-х класів.

Зміни у кількості годин, відведених для вивчення курсу математики в класах різних профілів можна прослідкувати, користуючись таблицями 1 і 2. У таблиці 2 наведено кількість годин, відведених на вивчення  математики  у програмах 2002року.

Таблиця 2.

	Прикладний напрям		Економічний напрям				Гуманітарний напрям
Курс\клас	10	11		10	11	10		11
Алгебра	105	105		140	140	105		105
Математичний аналіз
Геометрія	70	70		70	70

Якщо прослідкувати зміну змісту програм з математики за останні 20 років, то в курсі 6-го класу  в програмах з математики 1991, 1996, 2001 років з’являються теми “Подільність чисел” та “Геометричні фігури”, чого раніше не було.

Наближені обчислення та числові нерівності за програмами 1987р. вивчалися в курсі 7 класу. У програмах 1991, 1996 років дані теми почали вивчатися в курсі 8 класу, а з 2001 року вивчаються в курсі 9 класу. Арифметична та геометрична прогресії, які за програмами 1987 року вивчалися в курсі 7 класу за рештою програм вивчаються в 9 класі.

Що стосується геометрії, то вектори на площині за програмою 1987 року вивчалися в  курсі геометрії 8 класу, а за програмами 1991, 1996 років – в 9 класі.   За програмою 2001 року вектори знову почали вивчати в курсі 8 класу, а в курсі 9 класу з’явилася тема “Початкові відомості стереометрії”.

За програмами з математики 1996, 2001 років в курсі алгебри та початків аналізу в 11 класі вивчається тема “Границя і неперервність функції”, чого раніше не було. Тема “Похідна та її застосування” за програмами 1987, 1991 років вивчалася в 10 класі. Починаючи з 1996 року похідна та її застосування вивчаються в 11 класі.

Поняття степеневої, показникової та логарифмічних функцій вивчалися в курсі 11 класу. З 1996 року у програмах з математики для загальноосвітніх шкіл в курсі алгебри та початків аналізу степенева функція, показникова та логарифмічна функції стали вивчатися в 10 класі. Це пов’язано з тим, що програми  1996, 2001 років містять в курсі алгебри та початків аналізу 11 класу такі теми: елементи комбінаторики, елементи теорії ймовірностей, вступ до статистики, комплексні числа.

Курс геометрії 11 класу за програмою 1987 року включає рухи тіл в просторі, як окремий розділ. За програмами  1991, 1996, 2001 років даний матеріал вивчається в курсі 10 класу в темі “Вектори”.

Внаслідок переходу до 12-ти річної освіти в 2004 році затверджено нові програми з математики для 5-12 класів              (авторами є М.І. Бурда та інші).

Програма представлена в табличній формі, що містить дві частини: зміст навчання і вимоги до підготовки учнів. Зміст навчання структуровано за темами відповідних навчальних курсів з визначенням кількості годин на їх вивчення.

            Зміст математичної освіти в основній школі структурується за такими змістовими лініями: числа; вирази; рівняння і нерівності; функції; геометричні фігури; геометричні величини; елементи комбінаторики; початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Кожна з них розвивається з урахуванням завдань вивчення математики на певному ступені шкільної математичної освіти, вікових особливостей і зумовлених ними навчальних можливостей школярів. В основній школі виокремлюються такі два ступені: 5—6 класи; 7—9 класи.

            Курс математики 5—6 класів передбачає розвиток, збагачення і поглиблення знань учнів про числа і дії над ними, числові й буквені вирази, величини та їх вимірювання, рівняння і нерівності, а також уявлень про окремі геометричні фігури і геометричні тіла

            Основу курсу складає розвиток поняття числа та формування міцних обчислювальних і графічних навичок. У 5—6 класах відбувається розширення множини натуральних чисел і нуля до множини раціональних чисел шляхом послідовного введення дробів (звичайних і десяткових), а також від’ємних чисел разом з формуванням міцних обчислювальних навичок.

            Розвиток інших змістових ліній здійснюється інтегровано з вивченням відповідних чисел і операцій над ними. Навчальний матеріал, що стосується виразів, величин, рівнянь і нерівностей, геометричних фігур, має загалом пропедевтичний характер. Важливе значення для підготовки учнів до систематичного вивчення алгебри, геометрії та інших предметів мають початкові відомості про метод координат, які дістають учні 5—6 класів: зображення чисел на координатній прямій, прямокутна система координат на площині, виконання відповідних побудов.

Інший матеріал (вимірювання величин, їх середні значення, відношення і пропорції, відсотки) має переважно прикладний характер.

            Істотне місце у вивченні курсу займають текстові задачі, основними функціями яких є розвиток логічного мислення учнів та ілюстрація практичного застосування математичних знань. Розв’язування таких задач супроводжує вивчення всіх тем, передбачених програмою.

            Зміст геометричного матеріалу включає планіметричні (відрiзок, промінь, пряма, кут, трикутник, прямокутник, квадрат, коло, круг) і стереометричні (прямокутний паралелепіпед, куб) фігури та простіші їх властивості, геометричні величини (довжина, градусна міра кута, площа, об’єм) та одиниці їх виміру, побудови геометричних фігур (без посилання на аксіоми конструктивної геометрії).

            Вивчення геометричних фігур має передбачати використання наочних ілюстрацій, прикладів із довкілля, життєвого досвіду учнів, виконання побудов і сприяти виробленню вмінь виділяти форму і розміри як основні властивості геометричних фігур. Закріплення понять супроводжується їх класифікацією (кутів, трикутників, взаємного розміщення прямих на площині).

            Основа інтеграції геометричного матеріалу з арифметичним і алгебраїчним — числові характеристики (довжина, площа, об’єм) геометричних фігур. Узагальнюються знання учнів про одиниці виміру довжини, площі, об’єму і вміння переходити від одних одиниць до інших, оскільки ці знання і вміння використовуються у вивченні предметів природничого циклу і в трудовому навчанні.

            Розширюються уявлення учнів про вимірювання геометричних величин на прикладах вимірювання і порівняння відрізків і кутів, побудови відрізків даної довжини і кутів із заданою градусною мірою, оперування формулами периметрів, площ і об’ємів геометричних фігур — знаходження невідомого компонента формули за відомими.

            Побудова кута за допомогою транспортира або косинця (прямого кута), прямої та відрізка — за допомогою лінійки використовується у процесі побудови прямокутника за даними його вимірами, а в подальшому при побудові перпендикулярних і паралельних прямих.

            У 7-9 класах вивчається два математичні курси: алгебра і геометрія.

            Основними завданнями курсу алгебри є вдосконалення обчислювальних навичок школярів, формування формально-оперативних умінь (виконання тотожних перетворень цілих і дробових виразів, розв’язування рівнянь і нерівностей та їх систем), достатніх для вільного їх використання у вивченні математики і суміжних предметів, а також у процесі розгляду різноманітних практичних застосувань математичного знання.

            На цьому етапі шкільної математичної освіти завершується формування поняття дійсного числа. До відомих учням числових множин додається множина ірраціональних чисел.

            Основу курсу становлять перетворення цілих і дробових раціональних та ірраціональних виразів. Розглядається поняття степеня з цілим показником та його властивості.

Істотного розвитку набуває змістова лінія рівнянь та нерівностей. Відомості про рівняння доповнюються поняттям рівносильних рівнянь. Процес розв’язування рівняння трактується як послідовна заміна даного рівняння рівносильними йому рівняннями. На основі узагальнення відомостей про рівняння, здобутих за попередні роки, вводиться поняття лінійного рівняння з однією змінною. Крім лінійних, передбачено вивчення квадратних рівнянь, рівнянь зі змінною в знаменнику та окремих видів рівнянь, що зводяться до квадратних. Розглядаються системи лінійних рівнянь та рівнянь другого степеня з двома змінними. Щодо останніх, то увага зосереджується на системах, де одне рівняння — другого степеня, а друге — першого степеня. Передбачається розгляд лише простіших систем рівнянь, у яких обидва рівняння другого степеня.

            Значне місце відводиться застосуванню рівнянь до розв’язування різноманітних задач. Важливе значення надається усвідомленому формуванню алгоритму розв’язування задачі за допомогою рівняння і його реалізації. Рівняння і задачі з їх допомогою розв’язують під час вивчення кожної теми програми.

Елементарні відомості про числові нерівності доповнюються і розширюються за рахунок вивчення властивостей числових нерівностей, розгляду лінійних нерівностей з однією змінною та квадратних нерівностей і їх розв’язування. Розглядається розв’язування систем двох лінійних нерівностей з однією змінною.

У 7 класі вводиться одне з фундаментальних математичних понять — поняття функції. Тут же розглядається лінійна функція та її графік. Згодом ці відомості використовуються для графічної ілюстрації розв’язування лінійного рівняння з однією змінною, а також системи двох лінійних рівнянь з двома змінними. Інші види функцій розглядаються у зв’язку з вивченням відповідного матеріалу, що стосується решти змістових ліній курсу. Зокрема, у 8 класі в темах “Раціональні вирази” та “Квадратні корені” учні ознайомлюються з функціями  і  та їх властивостями. У 9 класі розглядається квадратична функція. Вивчення її властивостей пов’язується з розв’язуванням квадратних нерівностей.

            Таким чином, функціональна лінія пронизує весь курс алгебри основної школи і розвивається у тісному зв’язку з тотожними перетвореннями, рівняннями і нерівностями. Властивості функцій встановлюються за їх графіками, тобто на основі наочних уявлень, і лише деякі властивості обґрунтовуються аналітично. У міру оволодіння учнями теоретичним матеріалом кількість властивостей, що підлягають вивченню, поступово збільшується. Під час вивчення функцій важливе місце відводиться формуванню умінь будувати і читати графіки функцій, характеризувати за графіками функцій процеси, які вони описують.

            Прикладна спрямованість вивчення функцій, рівнянь, нерівностей та іншого матеріалу доповнюється окремими аспектами, пов’язаними з ознайомленням учнів з відсотковими розрахунками, початковими елементарними поняттями теорії ймовірностей і статистики.

            Одна з основних змістових ліній курсу геометрії — геометричні фігури та їх властивості. Об’єкти вивчення: на площині — трикутник, чотирикутник, коло; в просторі — призма, піраміда, циліндр, конус, куля. Учень повинен формулювати означення геометричних фігур та їх елементів і зображати їх на малюнку.

            Властивості геометричних фігур на площині пов’язані з їх формою, розмірами, рівністю, взаємним розміщенням, інцидентністю прямих, точок і площин. Послідовність вивчення властивостей традиційна: спочатку вводяться на наочній основі шляхом узагальнення очевидних і відомих геометричних фактів аксіоми, потім доводяться теореми. Учень має усвідомити, що під час доведення теорем дозволяється користуватися аксіомами і раніше доведеними теоремами. Основний апарат доведення — ознаки рівності трикутників, використовуються також геометричні перетворення і засоби алгебри (вектори і координати).

Поглиблюються і систематизуються відомості про геометричні величини. Вимірювання і відкладання відрізків і кутів обґрунтовується аксіомами. Виведення формул для обчислення площ простіших фігур (прямокутника, паралелограма, трикутника, трапеції) спирається на існування площі і основні її властивості. Під час обґрунтування формул застосовуються такі поняття, як рівноскладеність і доповнення до фігури, формула площі якої відома.

Графічні вміння учнів включають: зображення геометричних фігур та їх елементів, виконання допоміжних побудов за даними умов задач і простіші побудови фігур циркулем та лінійкою.

            Програма старшої школи (10-12 класи) передбачає побудову курсу математики на засадах застосування методу математичного моделювання. Тому цілком природно, що програма містить вступ до курсу, який присвячено цьому методу.

            Програма передбачає як сумісне, так і роздільне вивчення геометрії та алгебри і початків аналізу.

            Однією з головних змістових ліній курсу “Математика” в старшій школі є функціональна лінія. Тому доцільно розпочинати вивчення курсу з теми “Функції, їхні властивості та графіки” — його фундаменту. У цій темі здійснюється повторення, систематизація матеріалу стосовно функцій, який вивчався в основній школі, його поглиблення і розширення, зокрема за рахунок степеневих функцій. Головною її метою є підготовка учнів до вивчення нових класів функцій (тригонометричних, показникових, логарифмічних), а також мотивація необхідності розширення апарату дослідження функцій за допомогою похідної та інтеграла.

            В наступних темах розширюються класи функцій, які вивчались в основній школі. В темах “Тригонометричні функції” і “Показникова та логарифмічні функції” вміння досліджувати функції, які сформовані в першій темі, закріплюються і застосовуються до моделювання закономірностей коливального руху, процесів зростання та вирівнювання.

           Важливим завершенням функціональної лінії курсу “Математика” є розгляд понять похідної та інтеграла, які є необхідним інструментом дослідження руху

Вивчення інтегрального числення зазвичай починається з розгляду сукупності первісних даної функції, яку доцільно розуміти як сукупність функцій, які задовольняють умову          у¢ =f(x). Таке тлумачення буде основою для знайомства учнів з найпростішими диференціальними рівняннями, які широко використовуються до опису реальних процесів.

            У курсі математики старшої школи набувають розвитку й інші змістові лінії: числа й обчислення, вирази і перетворення, рівняння та нерівності.

            Розглядаються обчислення, оцінювання та порівняння значень тригонометричних, степеневих, показникових, логарифмічних виразів. Виробнича діяльність сучасної людини пов’язана з широким використанням процентів. Тому дуже важливо сформувати в учнів навички процентних обчислень та їх застосувань, зокрема при розв’язанні текстових задач. Розгляд  процентів забезпечує природну область застосування степеневих і показникових функцій.

Певне місце в курсі займають тотожні перетворення тригонометричних, степеневих та логарифмічних виразів. Тригонометричні функції пов’язані між собою багатьма  співвідношеннями. Їх можна умовно поділити на три групи. Перша група формул встановлює зв’язок між координатами точки кола — це так звані основні співвідношення. Друга група формул має своїм джерелом симетрію і періодичність руху точки по колу. Вона складається із формул зведення. Третю групу тотожностей породжують повороти точки навколо центра кола.

            У старшій школі розширюються класи рівнянь, нерівностей, їх систем, методи їх розв’язування, сфери застосування. Завершується їх вивчення в темі “Рівняння, нерівності та їх системи”. Доцільність і навіть необхідність її включення до курсу математики обумовлені декількома факторами. Насамперед, ідеться про те, що складання, дослідження і розв’язання рівнянь, нерівностей, систем є серцевиною практичної діяльності учнів при вивченні математики, починаючи з молодших класів, адже вони є найбільш поширеними моделями і навчальних, і реальних задач і ситуацій. Окрім того, хоча рівняння, нерівності, системи вивчались у переважній більшості тем, а може, і саме через це, доцільно мати на них загальний погляд, сформулювати і закріпити загальні методи розв’язування, розібратися із загальними поняттями стосовно рівнянь, нерівностей, систем. 

             Елементи теорії ймовірностей та математичної статистики вивчаються, починаючи з основної школи в обсязі, що відповідає вимогам державного стандарту. В старшій школі ця змістова лінія суттєво розширюється, поглиблюється. Вивчення цієї теми спирається на елементи комбінаторики, ймовірності, статистики, що вивчались в основній школі.

            Як і в основній школі, геометрія у старшій школі повинна навчати учнів правильному сприйманню навколишнього світу. Але для цього стереометрія має більше можливостей. Йдеться про розвиток логічного мислення, формування просторових уявлень, формування навичок застосування геометрії до розв’язання практичних завдань. Розв’язання цих завдань розпочинається з розгляду теми “Паралельність прямих і площин у просторі”. У ній закладається фундамент для вивчення стереометрії — геометрії простору. Особливу увагу необхідно приділити реалізації прикладної спрямованості теми. Головним внеском у розв’язання зазначеної проблеми є формування чітких уявлень про взаємовідношення геометричних об’єктів (прямих, площин) і відношень між ними з об’єктами навколишнього світу. Важливе місце в темі необхідно відвести навчанню учнів зображенню просторових фігур на площині та застосуванню цих зображень при розв’язанні  задач.

            Завершується навчання геометрії у 10 класі розглядом теми “Перпендикулярність прямих і площин у просторі”, в якій закладається фундамент для вимірювань у стереометрії. Значної уваги вимагає формування таких фундаментальних понять, як загальне поняття відстані, поняття кута, як міри розміщення прямих і площин і двогранного кута, як геометричної фігури. З введенням відношення перпендикулярності прямих і площин (математичної моделі поняття вертикальності), перпендикулярності площин, а також відстаней і кутів моделюючі можливості курсу стереометрії значно збільшуються.

            Розгляд теми “Вектори і координати” в 11 класі дозволить природно повторити навчальний матеріал із стереометрії 10 класу і застосувати новий підхід до вивчення прямих і площин у просторі. Окремим завданням навчання теми “Вектори і координати” є узагальнення векторного і координатного методів на випадок простору.

            В темі “Геометричні тіла та поверхні” розглядаються основні види геометричних тіл та їхні властивості. Вона є центральною у стереометричній підготовці учнів. При вивченні даної теми дуже важливим є підхід, що передбачає формування навичок конструювання  і класифікації тіл та їх поверхонь. Такий підхід вимагає використання конструктивних означень. Конструктивні означення дозволяють встановити спільність між призмами і циліндрами, пірамідами та конусами. Паралельне розглядання зазначених груп тіл дає перевагу при вивченні їхніх властивостей, а також у подальшому при знаходженні об’ємів тіл і площ їхніх поверхонь.

            У темі “Об’єми та площі поверхонь геометричних тіл” завершується вивчення учнями в школі геометрії простору. У процесі вивчення теми повинні бути розглянуті різні методи обчислення об’ємів і площ поверхонь. Особливу увагу необхідно приділити методу розбиття, який має велике практичне значення. Використання аналогії між вимірюваннями площ плоских фігур і об’ємів сприятиме засвоєнню матеріалу учнями. При вивченні площ поверхонь тіл доцільно широко користуватись природною та важливою, з практичної точки зору, ідеєю розгортки.